《复变函数》 课堂教学感触
数学与信息科学学院 李海英
《复变函数》是数学与信息科学学院各专业本科生的一门重要的专业基础课程，是《数学分析》的后续课程，是集理论性与应用性为一体的学科，是近代分析学的基础，在数学专业课程教学中起着承前启后的作用。
通过对本课程的学习，要求学生掌握和理解本课程的基本概念、理论和相关计算的基本方法，使学生受到严格的数学专业中分析的思维方法与技巧的训练。培养学生严谨的数学语言表达能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及熟练的数学运算能力。提高建立数学模型并应用复变微积分这一强有力的工具解决若干实际应用问题的能力。学习者应重视本课程与《数学分析》相关理论的联系与区别，加深对《数学分析》中基本理论的理解，有效地培养学生创新思维能力和独立分析问题、解决问题的能力，实现培养学生过硬的教学素养（诸如师德规范、学科素养、教学能力、沟通合作等）的价值目标，实现立德树人教育的根本任务。
《复变函数》内容主要包括：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数以及留数理论等。其各章节按照严格的逻辑顺序展开，有着很强的系统性和整体性。学生在学习这门课程时普遍感到概念抽象，内容枯燥，遇到问题难于入手。如何使得这门课程的课堂变得生动有趣，而且使学生在学习过程中容易理解，取得良好的教学效果是我们不得不思考的问题。在讲授《复变函数》课程的过程中，关于教学方面，本人有以下心得体会，不当之处，敬请批评指正。
教学设计思路
针对复变函数这门课程的特点，设计如下教学思路：
贯穿一条主线---------与实变微积分进行类比；
显化一条暗线---------化归与转化的数学思想方法；
研究一种函数---------解析函数；
突出一个重要问题----在复变函数课程中如何加强应用。
将思政元素融入教学实践
挖掘思政元素并融入课堂，降低课堂的抽象性，提高课堂的趣味性，使课程的内容丰富且充满活力，延伸复变函数课程的理论价值。 如柯西积分公式与唯一性定理隐含了局部反映整体的人生哲理。以柯西积分公式为例，说明如何将思政元素引进课堂。首先提出问题：如果我们测得地球表面各点的温度，能否测得地心的温度？如何测？
问题可归结为能否用边界值刻画内部值？引出要讲的内容--柯西积分公式。柯西积分公式是数学中复分析的一个重要结论，以十九世纪法国数学家奥古斯丁·路易·柯西命名。此时，引入思政元素：柯西积分公式是一把钥匙，他开启了许多方法与定理。利用边界值确定内部值。体现了局部反映整体的特性。反映了复变函数这门课程的“见微知著”的特性。其实人生的很多过程也是如此，可以说人的一生常常会出现“一点”决定“一线”甚至“一面”的情形。就上大学这一人生节点来说，我们并不否认成才并非读书这一条路可行，但就普遍情况而言，“上” 与“不上”对一个人来说很可能会影响其一生，因为大学往往意味着将来的就业机会、工作地点、收入、职位、工作性质等诸方面的不同，所以“上”这一点往往一定程度上决定着人生的“一面”。鼓励学生珍惜大学美好时光，抓紧时间好好学习。
3、将类比的思想融入复变函数的整个教学过程
复变函数作为实变量函数的后继课程，很多概念都继承了实变量函数的定义方式，如极限、连续、导数、积分等。 因而，在处理和掌握这些概念时，应类比出这些概念的定义所采用的方法是从实变量到复变量，讲解时应用“已知”解决“未知”的教学思想方法。
当复数的虚部等于零时就化为实数了，实数可以看成是复数的特例。因此在教学中要有意识地将函数在复数域与实数域内的定义、定理、公式等进行对比。事实上，不仅在实数域内的函数定义、极限、连续、导数、微分、积分以及级数等都可以类推到复数域，这些思想和方法也能类推到复数域，如复积分的参数积分法，就完全类推了第一类曲线积分中的参数积分法。当然，也要注意复数既然是实数的推广，也必然会存在一些不同之处，如实数域内成立的等式关系、代数恒等式、三角函数等式等，在复数域内仍成立，而不等式关系却不一定成立，如复数的大小关系、正余弦函数的模不再小于等于1等等。
因此，在复变函数论课程教学中，要将类比的思想贯穿始末，并从保留、失去、增加的角度把握其与实变函数的异同，指出复变函数比实变函数更复杂的特性，引导学生在学习中既要找出相似点，也要弄清不同点，有利于学生深刻理解、灵活掌握复变函数的理论和方法。
4、采用线上线下混合式教学模式
该课程在传统“粉笔+黑板”授课的基础上，适当采用现代化的教学手段和教学方法，已构建和完善了教材与辅助教材、多媒体课件、电子教案、超星学习通等配套形成的立体化教学资源和教学平台。
主要采用超星学习通教学平台，教师通过录制视频、上传视频与本课程相关的资料，学生通过课前预习、观看视频、在线讨论答疑、课堂练习、提交作业等的学习过程，促进师生之间、学生之间进行资源共享、问题交流和协作学习，激发学生学习兴趣，效果良好。在线下教学的同时混合使用线上教学，发挥线上教学对线下教学的补充作用，进一步丰富课程资源，以方便学生拓展学习。
5、以提高学生创新能力为出发点，教学方式多样化
根据教学内容，采用多样的教学方法。讲授复变函数极限概念时，采用“发现式”教学法，引导学生发现知识规律；讲授解析函数的判定时，采用“探究式”教学法，引导学生总结知识规律；讲授柯西积分公式的应用时，采用“讨论式”教学法，倡导学生利用知识规律；讲授复函数项级数时，采用“类比式”教学法，启发学生归纳知识规律等。
以唯一性定理为例，在前一节课推导了函数
在z=0点的泰勒展式
，展式成立的范围是
。而数学分析中函数
的泰勒展式
，展式成立的范围是
，两个展式形式上一模一样，这样学生的头脑中就会产生一个疑问，这是为什么呢？教师此时指出本节课要学习的解析函数的唯一性定理刚好解答了同学们心中的疑问。
6、教学模式与方法体现教与学良性的互动
为充分发挥教师在教学活动中的主导作用和学生在教学中的主体地位，在教学观念与风格上注重有利于调动学生自主学习积极性的翻转课堂、超星学习通、雨课堂等，采取“启发--探索--精讲--多练--归纳”五段式教学，让教与学良性的互动，体现知识传授与能力培养相结合、模仿继承与创新发展相结合的教学模式。
课堂上实行“满堂灌，填鸭式”的教学方法，学生只能坐在下面被动地听课，没有真正参与到教学中来。在实际教学中，本人尽量回避这一点，充分考虑到了“做”的重要性。比如，复变函数幂级数理论与实的幂级数理论中的阿贝尔引理以及收敛半径的求法是相似的，在讲授这部分内容时，可以让学生提前复习一下实幂级数中的阿贝尔引理以及求收敛半径的方法，组织学生自主教学，分组讨论，让学生真正参与到教学中来，分享学习成功带来的喜悦。
以上是本人在教学过程中不一定成熟的体会和见解，请各位同仁指正。